Formelsammlung Biostatistik

Dichte und Verteilungsfunktion

Wahrscheinlichkeit als Fläche

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche unter der Kurve.

Bei Größen wie der Körpergröße fragt man nie nach einem einzelnen Wert. Genau 170,000 cm groß ist niemand. Man fragt nach einem Bereich, zum Beispiel „zwischen 160 und 180 cm“.

Die Antwort ist eine Fläche. Stell dir die Kurve als Hügel vor. Die Wahrscheinlichkeit ist, wie viel vom Hügel über deinem Bereich liegt. Das Zeichen $\int$ musst du dafür nicht rechnen können. Es heißt nur „Fläche“.

Was die Zeichen bedeuten

$P(\dots)$: die Wahrscheinlichkeit für das, was in der Klammer steht
$X$: die Größe, die du misst, zum Beispiel die Körpergröße einer zufälligen Person
$a \le X \le b$: „X liegt zwischen $a$ und $b$ “, etwa zwischen 160 und 180 cm
$f(x)$: die Kurve (die Dichte). Wo sie hoch ist, gibt es viele Werte
$\int_a^b \dots\,dx$: heißt nur: „die Fläche unter der Kurve von $a$ bis $b$ “

Aus den Säulen eines Histogramms wird die Kurve.

Ein Histogramm der Körpergröße von 150 bis 190 cm. Die Klassen werden schmaler, erst 10 cm, dann 5 cm, dann 2,5 cm. Am Ende liegt eine glatte Glockenkurve über den Säulen.

Links die Fläche zwischen 160 und 180 cm. Sie ist 0,68 groß.

Links ist die Fläche zwischen 160 und 180 cm schraffiert. Rechts werden F(160) = 0,16 und F(180) = 0,84 abgelesen. Der Abstand dazwischen auf der y-Achse ist 0,68.

Beispiel

P(160 \le X \le 180) \approx 0{,}68

68 % sind zwischen 160 und 180 cm groß

Achtung

Die Höhe der Kurve ist keine Wahrscheinlichkeit. Nur die Fläche ist eine.

Was die Zeichen bedeuten

$f(x) \ge 0$: die Kurve liegt nie unter der Achse
$\int_{-\infty}^{\infty}$: die Fläche von ganz links bis ganz rechts, also die ganze Fläche
$= 1$: eins heißt 100 %

Die Glocke wird schmal und hoch, dann breit und flach. Die Fläche bleibt 1.

Eine Glockenkurve wird schmaler und höher, dann wieder breiter und flacher. Die Fläche darunter bleibt immer 1.

Achtung

Die Kurve darf höher als 1 sein. Nur die Fläche muss 1 sein.

Zum Thema: Normalverteilung

Verteilungsfunktion

F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt

F(x) sagt, wie viele höchstens x groß sind.

Nimm die Kurve und schieb einen Strich von links nach rechts. $F(x)$ ist die Fläche links vom Strich.

Am Anfang ist links noch nichts: $F$ ist 0. Am Ende ist alles links: $F$ ist 1. Dazwischen steigt $F$ immer weiter an. So wird aus der Fläche links eine Höhe rechts – und die liest du einfach ab.

Was die Zeichen bedeuten

$F(x)$: die Verteilungsfunktion, auch kumulative Wahrscheinlichkeit
$P(X \le x)$: „Wie wahrscheinlich ist ein Wert von höchstens $x$ ?“
$\int_{-\infty}^{x}$: die ganze Fläche links von $x$

Links füllt sich die Fläche, rechts wächst die Höhe mit.

Links fährt eine Linie über die Dichte der Körpergröße, die Fläche links davon füllt sich. Rechts wächst die Verteilungsfunktion mit. Halte bei 160 cm (Fläche 0,16), 170 cm (0,5) und 180 cm (0,84).

Ablesen: von 160 cm hoch zur Kurve, dann nach links. Dort steht 0,16.

Verteilungsfunktion der Körpergröße. Von 160 cm geht eine Linie hoch zur Kurve und dann nach links zur y-Achse: 0,16. Danach von 0,9 auf der y-Achse nach rechts zur Kurve und hinunter: 182,8 cm.

Beispiel

F(180) = 0{,}84

P(X \le 180) = 0{,}84

84 % sind höchstens 180 cm groß

Achtung

$F(x)$ ist immer „höchstens“, also die Fläche links. Für „mehr als“ brauchst du $1 - F(x)$ .

Was die Zeichen bedeuten

$F(a)$: die Fläche links von $a$ (an der Kurve abgelesen)
$1$: die ganze Fläche
$1 - F(a)$: alles minus links, also die Fläche rechts von $a$
$F(b) - F(a)$: bis $b$ minus bis $a$ , also nur das Stück dazwischen

„Mehr als 180“: alles (1) minus „höchstens 180“ (0,84).

Die ganze Fläche unter der Glocke ist 1. Ein Strich bei 180 cm teilt sie: links 0,84, rechts 0,16. Dazu die Rechnung 1 − 0,84 = 0,16.

„Zwischen 160 und 180“: 0,84 minus 0,16 ergibt 0,68.

Beispiele

P(X > 180) = 1 - F(180)

= 1 - 0{,}84 = 0{,}16

P(170 < X \le 180) = F(180) - F(170)

= 0{,}84 - 0{,}5 = 0{,}34

Achtung

„Zwischen“ ist minus: $F(b) - F(a)$ . Nicht plus und nicht $F(b - a)$ .

Was die Zeichen bedeuten

$\lim_{x \to \infty}$: „wenn $x$ immer größer wird“
$F(x) \to 1$: die Fläche links wird fast die ganze Fläche

Die Fläche rechts schrumpft: 0,159, dann 0,023, dann 0,001. F steigt auf fast 1.

x wandert von 180 über 190 auf 200 cm. Links schrumpft die schraffierte Restfläche rechts von x: 0,159, dann 0,023, dann 0,001. Rechts nähert sich die Verteilungsfunktion der 1: 0,841, dann 0,977, dann 0,999.

Beispiel

F(200) \approx 0{,}999

nur 1 von 1000 ist größer als 200 cm

Zum Thema: Normalverteilung

Normalverteilung

Die Glockenkurve

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Zwei Zahlen bestimmen die Glocke – wo sie steht (μ) und wie breit sie ist (σ).

Die Formel sieht wild aus. Du musst sie fast nie ausrechnen. Wichtig sind nur die zwei Zahlen darin.

Ändert sich $\mu$ , rutscht die ganze Glocke nach links oder rechts. Ändert sich $\sigma$ , wird sie breiter und flacher oder schmaler und höher. Die Form bleibt immer eine Glocke. Man schreibt kurz $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ , hier $N(170, 100)$ .

Was die Zeichen bedeuten

$\mu$: „mü“, der Mittelwert. Dort ist der Gipfel. Bei der Körpergröße 170 cm
$\sigma$: „sigma“, die Standardabweichung. Sie sagt, wie breit die Glocke ist. Hier 10 cm
$x - \mu$: wie weit ein Wert vom Mittelwert weg ist
$e^{-\dots}$: sorgt dafür, dass die Kurve nach außen schnell flach wird
$\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$: macht die Glocke so hoch, dass die Fläche 1 ist

Erst ändert sich μ (die Glocke rutscht), dann σ (sie wird schmal oder breit).

Eine Glocke über einer cm-Achse. Erst wandert μ von 170 nach 185 und zurück, die Glocke rutscht mit. Dann ändert sich σ: bei 5 ist sie schmal und hoch, bei 15 breit und flach. Eine Linie zeigt die Länge σ.

Beispiel

X \sim N(170,\ 10^2)

Körpergröße: Mittelwert 170 cm, Standardabweichung 10 cm

Achtung

In $N(170, 100)$ ist 100 die Varianz $\sigma^2$ , nicht $\sigma$ . In R schreibst du sd = 10.

Was die Zeichen bedeuten

$\mu \pm \sigma$: „vom Mittelwert eine Standardabweichung nach links bis eine nach rechts“, hier 160 bis 180 cm
$\mu \pm 2\sigma$: zwei Schritte nach jeder Seite, hier 150 bis 190 cm

Nacheinander: 160–180 cm (68 %), 150–190 cm (95 %), 140–200 cm (99,7 %).

Glockenkurve der Körpergröße mit μ = 170 cm und σ = 10 cm. Nacheinander werden die Bereiche 160–180 cm (68 %), 150–190 cm (95 %) und 140–200 cm (99,7 %) schraffiert.

Beispiel

F(\mu - \sigma) \approx 0{,}16

F(\mu) = 0{,}5

F(\mu + \sigma) \approx 0{,}84

Was die Zeichen bedeuten

$x$: dein Wert, zum Beispiel 185 cm
$x - \mu$: wie weit er vom Mittelwert weg ist: $185 - 170 = 15$ cm
$\div \sigma$: in Schritten von $\sigma$ gezählt: $15 : 10 = 1{,}5$ Schritte
$z$: die Zahl der Schritte. Positiv heißt größer als der Mittelwert, negativ kleiner

Erst minus μ (170), dann durch σ (10). Aus 185 cm wird 1,5.

Die Glocke der Körpergröße bleibt stehen. Die Zahlen darunter ändern sich: erst minus 170 (140 … 200 wird −30 … 30), dann durch 10 (wird −3 … 3). Der markierte Wert 185 wird erst 15, dann 1,5.

Die cm-Achse und die z-Achse untereinander.

Die Glocke der Körpergröße (170 cm, σ = 10 cm) wird verschoben und gestaucht, bis sie die Standardnormalverteilung ist. 185 cm wird zu z = 1,5.

Beispiel

z = \frac{185 - 170}{10} = \frac{15}{10} = 1{,}5

z = \frac{155 - 170}{10} = -1{,}5

minus: kleiner als der Mittelwert

Was die Zeichen bedeuten

$\Phi(z)$: „Phi von z“: die Fläche links von $z$ bei der Glocke mit 0 und 1 (steht in der Tabelle)
$\Phi(-z)$: die Fläche links von der negativen Zahl
$1 - \Phi(z)$: die Fläche rechts von $z$

Links von −1 ist so viel wie rechts von 1: 0,16.

Glocke mit 0 und 1. Links von −1 sind 0,16 schraffiert, ein Bogen klappt die Fläche nach rechts hinter 1: wieder 0,16. Dann die Fläche links von 1 (0,84) und die Rechnung 1 − 0,84 = 0,16.

Beispiel

\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)

= 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587

Was die Zeichen bedeuten

$p$: der Anteil, zum Beispiel 0,9 für 90 %
$z_p$: der z-Wert zu diesem Anteil, aus der Tabelle (bei 90 %: 1,282)
$x_p$: der gesuchte Wert: 90 % sind kleiner

Im zweiten Teil: von 0,9 nach rechts zur Kurve, dann hinunter. Dort steht 182,8 cm.

Beispiel

x_{0{,}9} = 170 + 1{,}282 \cdot 10 \approx 182{,}8

z_{0{,}95} = 1{,}645 \qquad z_{0{,}975} = 1{,}96

braucht man bei Tests mit 5 %

Kennwerte und Standardfehler

Mittelwert

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Alle Werte zusammenzählen und durch ihre Anzahl teilen.

Das Summenzeichen $\sum$ sieht schwierig aus. Es heißt nur „alles zusammenzählen“.

Du kannst dir den Mittelwert als Waage vorstellen. Alle Werte liegen als gleich schwere Gewichte auf einem Brett. Der Mittelwert ist die Stelle, an der das Brett im Gleichgewicht ist.

Was die Zeichen bedeuten

$\bar{x}$: „x quer“, der Mittelwert deiner Daten
$x_1, x_2, \dots$: die einzelnen Werte: der erste, der zweite …
$n$: wie viele Werte es sind
$\sum_{i=1}^{n}$: „Summe“: alle Werte von der Nummer 1 bis $n$ zusammenzählen

Bei 171 ist das Brett im Gleichgewicht.

Fünf Kreuze bei 160, 165, 170, 178 und 182 cm auf einem Brett. Der Drehpunkt rückt von 160 nach 171, das schiefe Brett wird waagerecht. Dazu die Rechnung (160 + 165 + 170 + 178 + 182) : 5 = 171.

Beispiel

\bar{x} = \frac{160 + 165 + 170 + 178 + 182}{5}

= \frac{855}{5} = 171

Achtung

In R: mean(x, na.rm = TRUE). Ohne na.rm = TRUE kommt bei einem fehlenden Wert NA heraus.

Varianz und Standardabweichung

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \qquad s = \sqrt{s^2}

Wie weit die Werte im Schnitt vom Mittelwert entfernt sind.

Du willst wissen: Liegen die Werte eng zusammen oder weit verstreut? Dafür schaust du, wie weit jeder Wert vom Mittelwert weg ist.

Einfach addieren geht nicht. Die Abweichungen nach unten (minus) und nach oben (plus) würden sich aufheben. Darum nimmt man jede hoch zwei: Aus der Abweichung wird ein Quadrat. Die Flächen der Quadrate zählst du zusammen und teilst durch $n - 1$ . Am Ende ziehst du die Wurzel, damit wieder cm herauskommt.

Was die Zeichen bedeuten

$x_i - \bar{x}$: wie weit ein Wert vom Mittelwert weg ist (die Abweichung)
$(\dots)^2$: hoch zwei, damit minus und plus sich nicht wegheben
$\frac{1}{n-1}$: durch die Anzahl minus eins teilen
$s^2$: die Varianz. Ihre Einheit ist „cm hoch zwei“
$s$: die Standardabweichung: die Wurzel daraus, wieder in cm

Jede Abweichung wird zu einem Quadrat. Die Flächen werden zusammengezählt.

Fünf Körpergrößen und ihr Mittelwert 171. Für jeden Wert erscheint ein Quadrat über der Abweichung: −11, −6, −1, 7, 11. Die Flächen 121, 36, 1, 49 und 121 ergeben zusammen 328. Dann 328 : 4 = 82 und √82 ≈ 9,1.

Beispiel

(-11)^2 + (-6)^2 + (-1)^2 + 7^2 + 11^2 = 328

Werte 160, 165, 170, 178, 182; Mittelwert 171

s^2 = \frac{328}{5 - 1} = 82

s = \sqrt{82} \approx 9{,}1 \text{ cm}

Achtung

Geteilt wird durch $n - 1$ , nicht durch $n$ . In R: var(x) und sd(x), beide schon mit $n - 1$ .

Standardfehler

SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \approx \frac{s}{\sqrt{n}}

Wie genau der Mittelwert ist – nicht, wie verschieden die Tiere sind.

Einzelne Menschen sind sehr verschieden groß. Der Mittelwert von vier Menschen schwankt viel weniger: Große und Kleine gleichen sich aus.

Der Standardfehler sagt, wie stark Mittelwerte schwanken. Je mehr Werte im Mittelwert stecken, desto kleiner ist er. Mit 4 Werten halbiert er sich ( $\sqrt{4} = 2$ ), mit 100 Werten wird er ein Zehntel.

Was die Zeichen bedeuten

$SE$: „Standardfehler“ (englisch standard error)
$\sigma \text{ bzw. } s$: die Standardabweichung der einzelnen Werte
$\sqrt{n}$: die Wurzel aus der Anzahl der Werte

Oben einzelne Körpergrößen, unten Mittelwerte aus je 4 Personen.

Oben 40 einzelne Körpergrößen als Kreuze, breit verteilt (σ = 10). Unten 40 Mittelwerte aus je 4 Personen, nur halb so breit (σ : √4 = 5).

Mehr Daten machen die Glocken schmaler.

Zwei Glocken für den Mittelwert, H₀ um 0, Hₐ um 1. Mit 4 Pflanzen überlappen sie stark, β = 0,36. Mit 16 Pflanzen sind sie schmal, β = 0,01.

Beispiel

s = 10,\ n = 25:\quad SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2

cm

Achtung

Standardabweichung = wie verschieden die einzelnen Werte sind. Standardfehler = wie genau der Mittelwert ist. Nicht verwechseln.

Testen

Nullhypothese und Alternativhypothese

H_0:\ \rho \le 0 \qquad H_A:\ \rho > 0

H_A ist deine Vermutung, H_0 ist ihr Gegenteil.

Du vermutest etwas, zum Beispiel: Mehr Licht, mehr Sauerstoff bei der Wasserpest. Das ist $H_A$ .

$H_0$ ist das langweilige Gegenteil: „Licht hat keinen positiven Einfluss.“ Der Test prüft immer $H_0$ . Passen die Daten schlecht zu $H_0$ , verwirfst du sie – und das spricht für $H_A$ .

Was die Zeichen bedeuten

$H_A$: „H A“, die Alternativhypothese: das, was du zeigen willst (manchmal $H_1$ )
$H_0$: „H null“, die Nullhypothese: „es gibt keinen Effekt“
$\rho$: „rho“, der echte Zusammenhang in der ganzen Natur (nicht nur in deinen Daten)
$\rho > 0$: positiver Zusammenhang: je mehr das eine, desto mehr das andere

Links so sähe es unter H₀ aus (keine Richtung), rechts unter Hₐ (steigend).

Zwei Punktwolken aus Kreuzen. Links liegen die Punkte ohne Richtung, rechts steigen sie von links unten nach rechts oben.

Beispiel

H_0

Zwischen Licht und Sauerstoffbildung gibt es keinen positiven Zusammenhang.

H_A

Mehr Licht geht mit mehr Sauerstoff einher.

Achtung

Schreib beide Hypothesen mit dem echten Beispiel auf, nicht nur mit Zeichen. Bei „irgendein Unterschied“ (ohne Richtung) heißt es $H_0: \rho = 0$ und $H_A: \rho \ne 0$ .

Was die Zeichen bedeuten

$p$: eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1
$\mid H_0$: „unter der Bedingung, dass $H_0$ stimmt“
$\text{so extrem}$: so weit draußen wie das, was du gemessen hast

Die Fläche rechts vom Ergebnis ist der p-Wert: bei 1 sind es 0,16, bei 2 nur 0,023.

Nullverteilung um 0. Die Prüfgröße wandert von 1 auf 2. Die Fläche rechts davon ist der p-Wert: bei 1 sind es 0,16, bei 2 nur noch 0,023.

Unter H₀ landen die Ergebnisse meist nahe 0. Ein Ergebnis bei 2,3 ist selten.

Die Nullverteilung ist eine Glocke um 0. Viele Kreuze fallen auf die Achse, die meisten nahe 0, wenige weit draußen. Dann erscheint die Prüfgröße aus den Daten bei 2,3, weit rechts im dünnen Rand.

Beispiel

z = 2:\quad p = 1 - 0{,}977 = 0{,}023

p_{\text{zweiseitig}} = 2 \cdot 0{,}023 = 0{,}046

zweiseitig zählen beide Ränder

Achtung

Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ stimmt. Und ein kleiner p-Wert heißt nicht, dass der Effekt groß ist.

Was die Zeichen bedeuten

$\alpha$: „alpha“, das Signifikanzniveau: deine Grenze, meist 0,05 (5 %)
$\Rightarrow$: „daraus folgt“
$H_0 \text{ verwerfen}$: das Ergebnis ist signifikant

Die Grenze bei 1,645 lässt rechts 5 % übrig. 1,2 liegt davor (nicht signifikant), 2,1 dahinter (signifikant).

Nullverteilung mit schraffiertem Rand rechts von 1,645: Das sind 5 %. Eine Prüfgröße bei 1,2 liegt davor, p = 0,115. Eine Prüfgröße bei 2,1 liegt im Rand, p = 0,018.

Einseitig liegen die 5 % auf einer Seite, zweiseitig je 2,5 % auf beiden.

Links eine Nullverteilung mit 5 % im rechten Rand ab 1,645. Rechts dieselbe Glocke mit je 2,5 % in beiden Rändern, ab −1,96 und ab 1,96.

Beispiel

p = 0{,}03 \le 0{,}05

signifikant, H₀ verwerfen

p = 0{,}08 > 0{,}05

nicht signifikant, H₀ beibehalten

Achtung

Schreib das Ergebnis immer mit dem Beispiel: „Die Daten sprechen für einen positiven Zusammenhang zwischen Licht und Sauerstoffbildung.“

Zum Thema: Hypothesentest und p-Wert

Fehler 1. und 2. Art

\begin{aligned} \alpha &= P(H_0 \text{ verwerfen} \mid H_0 \text{ stimmt}) \\ \beta &= P(H_0 \text{ behalten} \mid H_A \text{ stimmt}) \end{aligned}

Ein Test kann falschen Alarm schlagen oder etwas übersehen.

Denk an einen Rauchmelder. Er piept, obwohl nur Toast angebrannt ist: Fehler 1. Art. Er bleibt still, obwohl es brennt: Fehler 2. Art.

Beim Test ist es genauso. Fehler 1. Art: Du verwirfst $H_0$ , obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art: Du behältst $H_0$ , obwohl sie falsch ist. Machst du $\alpha$ kleiner, wird $\beta$ größer.

Was die Zeichen bedeuten

$\alpha$: Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art: falscher Alarm
$\beta$: „beta“, Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art: echten Effekt übersehen

Selbst wenn H₀ stimmt, landen 2 von 40 Ergebnissen im Rand: 5 % falscher Alarm.

Unter H₀ fallen 40 Prüfgrößen als Kreuze auf die Achse. Zwei davon landen im schraffierten Ablehnungsbereich rechts von 1,645 und werden rot: 2 von 40 sind 5 %.

α ist der Rand der linken Glocke, β das Stück der rechten Glocke vor der Grenze.

Zwei Glocken: H₀ um 0 und Hₐ um 2,5. Eine Grenze bei 1,645. Rechts der Grenze unter H₀ ist α schraffiert, links der Grenze unter Hₐ ist β schraffiert.

Rückt die Grenze nach rechts, wird α kleiner – aber β größer.

Die Grenze rückt von 1,645 auf 2,326. α schrumpft von 0,05 auf 0,01, β wächst von 0,20 auf 0,43.

Achtung

Nach dem Test ist nur einer der beiden Fehler möglich. Wurde $H_0$ verworfen, nur ein Fehler 1. Art. Wurde sie behalten, nur ein Fehler 2. Art.

Was die Zeichen bedeuten

$\beta$: Wahrscheinlichkeit, einen echten Effekt zu übersehen
$1 - \beta$: Wahrscheinlichkeit, ihn zu finden

Mit 4 Pflanzen ist β = 0,36, mit 16 Pflanzen nur 0,01.

Beispiel

\beta = 0{,}20 \;\Rightarrow\; 1 - \beta = 0{,}80

der Test findet den Effekt in 80 % der Fälle

Was die Zeichen bedeuten

$\bar{x}$: dein gemessener Mittelwert
$\mu_0$: „mü null“, der Wert, den $H_0$ behauptet
$\sigma / \sqrt{n}$: der Standardfehler, also die Schrittlänge
$z$: die Zahl der Schritte

Von 170 bis 176 sind es drei Schritte der Länge 2: z = 3.

Glocke der Mittelwerte um μ₀ = 170 mit Standardfehler 2. Der gemessene Mittelwert x̄ = 176 liegt rechts. Drei Schritte der Länge 2 führen von 170 bis 176. Dazu die Rechnung (176 − 170) : 2 = 3.

Beispiel

z = \frac{176 - 170}{10 / \sqrt{25}} = \frac{6}{2} = 3

drei Standardfehler über μ₀

Zusammenhang

Korrelationskoeffizient nach Pearson

r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2}\;\sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}

Eine Zahl zwischen −1 und 1 für „je mehr, desto mehr“.

Zieh durch die Punktwolke ein Kreuz durch die beiden Mittelwerte. Jetzt hat jeder Punkt ein Vorzeichen. Rechts oben und links unten heißt plus: Beide Werte sind gleichzeitig groß oder gleichzeitig klein. Links oben und rechts unten heißt minus.

Die Formel zählt alle Plus und Minus zusammen. Überwiegen die Plus, ist $r$ positiv. Überwiegen die Minus, ist $r$ negativ. Halten sie sich die Waage, ist $r$ nahe 0.

Was die Zeichen bedeuten

$r$: der Korrelationskoeffizient
$(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$: für jeden Punkt: Abstand nach rechts mal Abstand nach oben, vom Mittelpunkt aus
$\frac{\text{oben}}{\text{unten}}$: oben wird gezählt, unten steht nur, was $r$ zwischen −1 und 1 hält

Rechts oben und links unten zählen plus, die anderen minus.

Eine steigende Punktwolke. Ein gestricheltes Kreuz durch die Mittelwerte teilt sie in vier Felder. Punkte rechts oben und links unten werden hervorgehoben und zählen plus, die anderen minus. Für zwei Punkte erscheint das Rechteck aus den beiden Abständen. Ergebnis r = 0,7.

Dieselbe Wolke mit r = −0,9, 0, 0,5 und 0,9.

Eine Punktwolke aus Kreuzen verändert sich: erst fallend mit r = −0,9, dann ohne Richtung mit r = 0, dann steigend mit r = 0,5 und eng an einer Geraden mit r = 0,9.

Beispiel

r = 0{,}9

stark positiv: die Punkte liegen eng an einer steigenden Geraden

r = -0{,}8

stark negativ: je mehr das eine, desto weniger das andere

Achtung

Ein Zusammenhang zeigt keine Ursache. Oft steckt eine dritte Größe dahinter (Störgröße).

Was die Zeichen bedeuten

$r$: der Korrelationskoeffizient deiner Daten
$n$: wie viele Punkte du hast
$t$: die Prüfgröße. Daraus rechnet R den p-Wert

Gleicher Zusammenhang (r = 0,35): mit 8 Pflanzen p = 0,20, mit 80 Pflanzen p = 0,001.

Links 8 Kreuze mit leicht steigendem Trend, p = 0,20. Rechts 80 Kreuze mit genau demselben Trend (r = 0,35), p = 0,001.

Beispiel

r = 0{,}35,\ n = 8:\quad t = \frac{0{,}35 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{1 - 0{,}35^2}} \approx 0{,}92

p ≈ 0,20

r = 0{,}35,\ n = 80:\quad t \approx 3{,}30

p ≈ 0,001

Achtung

In R macht das cor.test(x, y) für dich. Gib $r$ , $t$ , die Freiheitsgrade ( $n - 2$ ) und $p$ an.

Zum Thema: Hypothesentest und p-Wert

Normalverteilung prüfen

Kolmogorow-Smirnow-Test

D = \max_x \big|\, F_n(x) - F(x) \,\big|

Der größte Abstand zwischen deinen Daten und der Normalverteilung.

Deine Daten bilden eine Treppe: Bei jedem Wert geht es eine Stufe hoch. Daneben liegt die glatte Kurve der Normalverteilung.

Der Test sucht die Stelle, an der Treppe und Kurve am weitesten auseinander sind. Dieser größte Abstand heißt $D$ . Ist $D$ klein, passen die Daten zur Normalverteilung.

Was die Zeichen bedeuten

$F_n(x)$: die Treppe aus deinen Daten: bei jedem Wert eine Stufe nach oben
$F(x)$: die glatte Kurve der Normalverteilung
$|\dots|$: der Abstand, egal ob die Treppe drüber oder drunter ist
$\max$: der größte dieser Abstände

Zwölf Körpergrößen als Treppe, dazu die Kurve. Der größte Abstand ist bei 172 cm: D = 0,128.

Zwölf Körpergrößen von 158 bis 189 cm. Eine Treppe steigt bei jedem Wert um ein Zwölftel. Darüber liegt die glatte Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Der größte Abstand ist bei 172 cm markiert: D = 0,128.

Beispiel

H_0

Die Körpergröße ist normalverteilt.

Achtung

In R: ks.test(x, "pnorm", mean(x, na.rm = TRUE), sd(x, na.rm = TRUE)). Gleiche Werte (ties) machen den p-Wert ungenau.

Was die Zeichen bedeuten

$W$: die Prüfgröße. Je näher an 1, desto gerader liegen die Punkte im QQ-Plot
$H_0$: hier: „Die Daten sind normalverteilt“

Links liegen die Punkte auf der Geraden (W nahe 1). Rechts hängen sie durch (W kleiner).

Zwei QQ-Plots. Links liegen die Kreuze einer normalverteilten Stichprobe dicht an der Geraden. Rechts hängen die Kreuze einer rechtsschiefen Stichprobe wie ein U durch: in der Mitte unter der Geraden, an beiden Enden darüber.

Beispiel

W = 0{,}981,\ p = 0{,}27

kein Hinweis gegen die Normalverteilung

W = 0{,}93,\ p = 0{,}004

weicht signifikant ab

Achtung

$p > 0{,}05$ beweist keine Normalverteilung. Mit sehr vielen Daten wird schon eine winzige Abweichung signifikant – schau immer auch auf den QQ-Plot.

Dichte und Verteilungsfunktion

Was die Zeichen bedeuten

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Kennwerte und Standardfehler

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Testen

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Zusammenhang

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Beispiel

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