Normal­verteilung, Dichte und Verteilungs­funktion

Miss die Körpergröße von 1000 Studierenden. Zeichne ein Histogramm: Jede Säule zählt, wie viele in eine Klasse fallen, zum Beispiel 165 bis 170 cm.

Mach die Klassen schmaler. Die Säulen werden feiner. Am Ende bleibt eine glatte Kurve übrig. Diese Kurve heißt Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)$, kurz Dichte.

Die Körpergröße ist ein stetiges Merkmal: Zwischen 170 und 171 cm liegen unendlich viele Werte. Deshalb hat ein einzelner Wert die Wahrscheinlichkeit null. Genau 170,000… cm ist niemand.

Eine Wahrscheinlichkeit gibt es nur für einen Bereich. Sie ist die Fläche unter der Dichte über diesem Bereich.

Jede Dichte hat zwei Eigenschaften. Sie ist nie negativ. Und die ganze Fläche unter ihr ist genau 1, also 100 %. Denn irgendeine Größe hat jeder.

Die Höhe $f(x)$ hat eine Einheit: „pro cm“. Sie kann sogar größer als 1 sein. Das passiert, wenn alle Werte sehr eng beieinander liegen. Nur die Fläche muss 1 sein.

Oft fragt man: Wie wahrscheinlich ist ein Wert höchstens $x$? Das ist die ganze Fläche links von $x$. Diese Fläche hat einen eigenen Namen: die Verteilungsfunktion $F(x)$. In R und auf Übungsblättern heißt sie auch kumulative Wahrscheinlichkeit.

Schieb $x$ von links nach rechts. Links kommt Fläche dazu, also steigt $F$. Wo die Dichte hoch ist, kommt viel Fläche dazu: Dort ist $F$ steil. An den Rändern ist die Dichte fast null: Dort ist $F$ flach.

Mit $F$ kannst du jede Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Du brauchst nur drei Regeln.

Bei stetigen Merkmalen ist es egal, ob „<“ oder „≤“ dasteht. Der Rand hat die Wahrscheinlichkeit null und ändert die Fläche nicht.

Auf Übungsblättern steht oft die Dichte neben der Verteilungsfunktion. Die Dichte zeigt dir, welche Fläche gemeint ist. Abgelesen wird an der Verteilungsfunktion.

Umgekehrt geht es auch. Gegeben ist eine Wahrscheinlichkeit $p$, gesucht der Wert. Dann gehst du von $p$ auf der y-Achse nach rechts zur Kurve und senkrecht hinunter. Den Wert, den du so findest, nennt man Quantil $x_p$. Zum Beispiel: 90 % sind höchstens $x_{0{,}9} \approx 182{,}8$ cm groß.

$F(x)$ ist die Fläche links von $x$. Je weiter du nach rechts gehst, desto mehr Fläche liegt links. Rechts von $x$ bleibt immer weniger übrig.

Die ganze Fläche ist 1. Also nähert sich $F(x)$ der 1. Ganz große Werte sind sehr selten: Fast alle sind kleiner als 2 m. Deshalb liegt bei 200 cm fast die ganze Fläche links.

Die Normalverteilung ist überall ein bisschen größer als null. Darum erreicht $F$ die 1 nie ganz. Bei $\mu + 3\sigma$, hier 200 cm, ist $F$ schon fast $0{,}999$.

Viele Messgrößen in der Biologie sind ungefähr normalverteilt: Körperlänge, Flügellänge, Blutdruck. Die Dichte ist eine Glocke. Sie ist symmetrisch um ihren Mittelwert. Man schreibt $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Für jede Normalverteilung gilt dieselbe Faustregel. Sie heißt 68-95-99,7-Regel.

Weil die Glocke symmetrisch ist, liegen außerhalb von $\mu \pm \sigma$ links und rechts je etwa 16 %. Daraus folgen drei Werte der Verteilungsfunktion, die du dir merken solltest:

Jede Normalverteilung lässt sich auf eine einzige zurückführen: die Standardnormalverteilung $N(0, 1)$ mit $\mu = 0$ und $\sigma = 1$. Dafür rechnest du den z-Wert aus. Er sagt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert weg ist.

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung heißt $\Phi$ (Phi). Für sie gibt es Tabellen. Damit gilt für jede Normalverteilung:

Beispiel: Wie viele sind höchstens 185 cm groß? $z = (185 - 170) / 10 = 1{,}5$. In der Tabelle steht $\Phi(1{,}5) = 0{,}9332$. Also sind es etwa 93 %.

Stell $\mu$, $\sigma$ und die Grenzen ein. Links siehst du die Fläche, rechts dieselbe Wahrscheinlichkeit als Höhe. Darunter steht die Rechnung.

R hat für jede Verteilung vier Befehle. Der Anfangsbuchstabe sagt, was du bekommst: d die Dichte, p die Verteilungsfunktion, q das Quantil, r Zufallszahlen. R will die Standardabweichung (sd), nicht die Varianz.