Normalverteilung prüfen – QQ-Plot, Shapiro-Wilk, KS-Test in R

Das Histogramm: die Daten in Klassen

Ein Histogramm teilt die Werte in gleich breite Klassen ein, zum Beispiel 160 bis 165 cm. Über jeder Klasse steht eine Säule. Ihre Höhe zeigt, wie viele Werte hineinfallen: die absolute Häufigkeit.

Kreuze für einzelne Körpergrößen fallen von oben in Klassen von 5 cm Breite zwischen 150 und 200 cm und stapeln sich zu Säulen. Die höchste Säule steht bei 170 bis 175 cm.

Sieht das Histogramm aus wie eine Glocke – ein Gipfel in der Mitte, auf beiden Seiten gleich abfallend –, passt eine Normalverteilung gut. Ein langer Ausläufer nach rechts heißt rechtsschief, nach links linksschief.

hist(daten$Groesse,
     breaks = seq(from = 150, to = 200, by = 5),   # Klassen von 5 cm
     xlim = c(150, 200), ylim = c(0, 50),          # Achsenbereiche
     main = "Körpergröße der Befragten",           # Überschrift
     xlab = "Körpergröße (cm)", ylab = "Anzahl",   # Achsen beschriften
     col = "red", density = 20, angle = 45)        # rot schraffiert

density ist die Zahl der Schraffurlinien pro Zoll, angle ihr Winkel. Ohne density werden die Säulen ganz gefüllt.

Mit breaks = seq(150, 200, by = 5) – wie viele Klassen hat das Histogramm?

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Teildaten auswählen und fehlende Werte

Oft sollst du nur einen Teil der Daten untersuchen, zum Beispiel nur die Befragten einer Gruppe. Dafür gibt es subset(). Es behält nur die Zeilen, für die die Bedingung stimmt.

frauen <- subset(daten, Geschlecht == "weiblich")   # nur diese Zeilen
nrow(frauen)                                         # wie viele sind es?

mean(frauen$Groesse, na.rm = TRUE)   # Mittelwert ohne fehlende Werte
sd(frauen$Groesse, na.rm = TRUE)     # Standardabweichung ohne fehlende Werte

Fehlt ein Wert, steht in R NA (not available). Dann ergibt mean() ebenfalls NA. Mit na.rm = TRUE lässt R die fehlenden Werte weg.

Welche Zeile wählt alle Befragten aus, die rauchen?

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Der QQ-Plot: Liegen die Punkte auf der Geraden?

Im QQ-Plot (Quantil-Quantil-Diagramm) werden die Daten der Größe nach sortiert. Jeder Wert bekommt einen Partner: den Wert, den man an derselben Stelle bei einer Normalverteilung erwarten würde. Auf der x-Achse stehen diese theoretischen Quantile, auf der y-Achse die Daten.

Zwei QQ-Plots. Links liegen die Kreuze einer normalverteilten Stichprobe dicht an der Geraden. Rechts hängen die Kreuze einer rechtsschiefen Stichprobe wie ein U durch: in der Mitte unter der Geraden, an beiden Enden darüber.

Sind die Daten normalverteilt, liegen die Punkte nahe an einer Geraden. Wie sie abweichen, verrät die Form:

Form im QQ-Plot	bedeutet
Form im QQ-PlotPunkte auf der Geraden, kleine Zacken	bedeutetpasst zur Normalverteilung
Form im QQ-PlotBogen nach unten durchhängend (wie ein U)	bedeutetrechtsschief: langer Ausläufer zu großen Werten
Form im QQ-PlotBogen nach oben (wie ein umgedrehtes U)	bedeutetlinksschief: langer Ausläufer zu kleinen Werten
Form im QQ-PlotS-Form, Enden weg von der Geraden	bedeutetmehr extreme Werte als bei einer Normalverteilung
Form im QQ-PlotStufen, viele Punkte auf gleicher Höhe	bedeutetgerundete Werte, zum Beispiel ganze Zentimeter

qqnorm(frauen$Groesse)   # QQ-Plot
qqline(frauen$Groesse)   # Gerade zum Vergleich

Im QQ-Plot liegen die Punkte in der Mitte auf der Geraden. Die größten Werte liegen deutlich darüber. Was heißt das?

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Der Shapiro-Wilk-Test

Der Shapiro-Wilk-Test prüft mit einem p-Wert, ob die Daten zu einer Normalverteilung passen. Seine Prüfgröße $W$ liegt zwischen 0 und 1. Je näher an 1, desto besser liegen die Punkte im QQ-Plot auf einer Geraden.

$H_0$ : Die Körpergröße ist normalverteilt.
$H_A$ : Die Körpergröße ist nicht normalverteilt.

shapiro.test(frauen$Groesse)

#   Shapiro-Wilk normality test
# data:  frauen$Groesse
# W = 0.9812, p-value = 0.2736          (Beispielausgabe)

Vollständig angeben heißt: Name des Tests, Prüfgröße, p-Wert, Stichprobengröße und Entscheidung. Etwa so: „Shapiro-Wilk-Test: $W = 0{,}981$ , $p = 0{,}274$ , $n = 85$ . Da $p > 0{,}05$ , behalten wir $H_0$ bei. Die Daten geben keinen Hinweis darauf, dass die Körpergröße nicht normalverteilt ist.“

Shapiro-Wilk-Test: $W = 0{,}93$ , $p = 0{,}004$ . Was folgt bei $\alpha = 0{,}05$ ?

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Der Kolmogorow-Smirnow-Test: der größte Abstand

Der KS-Test vergleicht zwei Verteilungsfunktionen. Die eine kommt aus den Daten: Sie springt bei jedem Wert um $\frac{1}{n}$ nach oben, wie eine Treppe (empirische Verteilungsfunktion). Die andere ist die Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Die Prüfgröße $D$ ist der größte senkrechte Abstand zwischen beiden.

Zwölf Körpergrößen von 158 bis 189 cm. Eine Treppe steigt bei jedem Wert um ein Zwölftel. Darüber liegt die glatte Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Der größte Abstand ist bei 172 cm markiert: D = 0,128.

D = \max_x \big|\, F_n(x) - F(x) \,\big|

F_n

ist die Treppe aus den Daten,

F

die Verteilungsfunktion der Normalverteilung.

Ist $D$ klein, passt die Normalverteilung. Ist $D$ groß, wird der p-Wert klein. In R gibst du die Normalverteilung mit Mittelwert und Standardabweichung der Daten an. Fehlen Werte, muss bei mean und sd wieder na.rm = TRUE stehen.

ks.test(frauen$Groesse, "pnorm",
        mean = mean(frauen$Groesse, na.rm = TRUE),
        sd   = sd(frauen$Groesse, na.rm = TRUE))

#   Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
# D = 0.0874, p-value = 0.5321           (Beispielausgabe)
# Warnmeldung: ties should not be present for the one-sample Kolmogorov-Smirnov test

Die Warnung „ties“ heißt: Manche Werte kommen mehrfach vor, etwa weil die Körpergröße in ganzen Zentimetern angegeben ist. Der KS-Test ist für Daten ohne gleiche Werte gedacht. Sein p-Wert ist dann nur ungefähr richtig.

Was misst die Prüfgröße $D$ des KS-Tests?

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Wenn die Verfahren sich widersprechen

Es kommt oft vor: Der Shapiro-Wilk-Test ist signifikant, der KS-Test nicht. Oder beide Tests sind nicht signifikant, aber der QQ-Plot sieht schief aus. Dafür gibt es mehrere Gründe.

Unterschiedliche Teststärke. Der Shapiro-Wilk-Test findet Abweichungen viel eher. Der KS-Test übersieht sie öfter, vor allem mit geschätztem Mittelwert und geschätzter Standardabweichung. Er macht also eher einen Fehler 2. Art.
Unterschiedliche Stellen. Der KS-Test achtet vor allem auf die Mitte der Verteilung, wo die Treppe am steilsten ist. Abweichungen in den Rändern bemerkt er kaum. Der Shapiro-Wilk-Test reagiert auch auf die Ränder.
Die Stichprobengröße. Bei wenigen Werten wird fast nichts signifikant. Bei sehr vielen Werten wird schon eine winzige Abweichung signifikant, die für die weitere Auswertung keine Rolle spielt.
Gleiche Werte (ties). Gerundete Werte stören den KS-Test, und im QQ-Plot entstehen Stufen.

Der QQ-Plot zeigt, was die Tests nicht zeigen: wo die Daten abweichen und wie stark. Eine kleine Zacke in der Mitte ist harmlos. Ein langer Ausläufer nach rechts kann wichtig sein.

Bei 2000 Körpergrößen ergibt der Shapiro-Wilk-Test $p = 0{,}01$ . Der QQ-Plot zeigt eine fast perfekte Gerade. Was ist die beste Erklärung?

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Normalverteilung prüfen – Histogramm, QQ-Plot, Shapiro-Wilk und KS-Test

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