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Bayati Statistik

Fehler 1. und 2. Art

Ein Test kann sich auf zwei Arten irren. Er schlägt Alarm, obwohl nichts ist – oder er übersieht einen echten Effekt. Beide Fehler hängen zusammen.

ca. 10 Min. · Biostatistik

Zwei Arten, falsch zu liegen

Ein Test entscheidet: H0H_0 verwerfen oder beibehalten. Ob H0H_0 in Wirklichkeit stimmt, weiß er nicht. Deshalb gibt es vier Fälle. Zwei davon sind Fehler.

H0H_0 stimmt in WirklichkeitH0H_0 stimmt nicht
H0H_0 verworfenH0H_0 stimmt in WirklichkeitFehler 1. Art – ein falscher Alarm. Wahrscheinlichkeit α\alphaH0H_0 stimmt nichtrichtig. Wahrscheinlichkeit 1−β1 - \beta (Teststärke)
H0H_0 beibehaltenH0H_0 stimmt in Wirklichkeitrichtig. Wahrscheinlichkeit 1−α1 - \alphaH0H_0 stimmt nichtFehler 2. Art – ein Effekt übersehen. Wahrscheinlichkeit β\beta

Ein Rauchmelder macht dieselben zwei Fehler. Er piept, obwohl nur Toast angebrannt ist: Fehler 1. Art. Oder er bleibt still, obwohl es brennt: Fehler 2. Art.

Ein Test zeigt einen Effekt eines Medikaments, aber in Wirklichkeit wirkt es nicht. Welcher Fehler ist das?

Wähle eine Antwort. Dann prüfen.

Fehler 1. Art: der falsche Alarm

Stell dir vor, H0H_0 stimmt: Licht hat keinen Einfluss auf die Sauerstoffbildung. Du wiederholst den Versuch sehr oft. Die Prüfgröße fällt dann meist nahe 0. Aber manchmal landet sie zufällig im Ablehnungsbereich. Dann verwirfst du H0H_0 zu Unrecht.

Wie oft passiert das? Genau so oft, wie der Ablehnungsbereich groß ist: mit der Wahrscheinlichkeit α\alpha.

Unter H₀ fallen 40 Prüfgrößen als Kreuze auf die Achse. Zwei davon landen im schraffierten Ablehnungsbereich rechts von 1,645 und werden rot: 2 von 40 sind 5 %.
P(Fehler 1. Art)=α=P(H0 verwerfen∣H0)\begin{aligned} P(\text{Fehler 1. Art}) &= \alpha \\ &= P(H_0 \text{ verwerfen} \mid H_0) \end{aligned}

Der senkrechte Strich heißt „unter der Bedingung“: P(H0 verwerfen∣H0)P(H_0 \text{ verwerfen} \mid H_0) ist die Wahrscheinlichkeit, H0H_0 zu verwerfen, wenn H0H_0 stimmt.

Im Beispiel heißt das: Du schließt auf einen positiven Zusammenhang zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung der Wasserpest. In Wirklichkeit gibt es ihn nicht.

Bei α=0,05\alpha = 0{,}05 testest du 100-mal, und jedes Mal stimmt H0H_0. Wie viele falsche Alarme erwartest du?

Tipp eine Zahl ein. Dann prüfen.

Fehler 2. Art: der übersehene Effekt

Jetzt stimmt H0H_0 nicht: Mehr Licht führt wirklich zu mehr Sauerstoff. Dann ist die Prüfgröße nach einer anderen Glocke verteilt, die weiter rechts liegt. Fällt sie trotzdem vor die Grenze, behältst du H0H_0 bei. Der Effekt wird übersehen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür heißt β\beta (beta). Die Gegenwahrscheinlichkeit 1−β1 - \beta heißt Teststärke oder Power: Wie sicher findet der Test einen Effekt, den es gibt?

Zwei Glocken: H₀ um 0 und Hₐ um 2,5. Eine Grenze bei 1,645. Rechts der Grenze unter H₀ ist α schraffiert, links der Grenze unter Hₐ ist β schraffiert.H₀ stimmtHₐ stimmt
P(Fehler 2. Art)=β=P(H0 beibehalten∣HA)Teststa¨rke=1−β\begin{aligned} P(\text{Fehler 2. Art}) &= \beta \\ &= P(H_0 \text{ beibehalten} \mid H_A) \\ \text{Teststärke} &= 1 - \beta \end{aligned}

Im Beispiel heißt das: Es gibt einen positiven Zusammenhang zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung. Dein Test findet ihn aber nicht.

α kleiner heißt β größer

Warum nicht einfach α=0,001\alpha = 0{,}001 nehmen? Dann gäbe es kaum falsche Alarme. Aber die Grenze rückt nach rechts. Mehr von der rechten Glocke liegt dann vor der Grenze. Der Test übersieht echte Effekte öfter.

Die Grenze rückt von 1,645 auf 2,326. α schrumpft von 0,05 auf 0,01, β wächst von 0,20 auf 0,43.

Du senkst α\alpha von 0,05 auf 0,01. Was passiert mit β\beta, wenn sonst alles gleich bleibt?

Wähle eine Antwort. Dann prüfen.

Mehr Daten, weniger übersehen

Es gibt einen Weg, beide Fehler klein zu halten: mehr Daten. Mit mehr Pflanzen schätzt du den Effekt genauer. Beide Glocken werden schmaler und überlappen weniger. α\alpha bleibt, wie du es festlegst, aber β\beta sinkt.

Zwei Glocken für den Mittelwert, H₀ um 0, Hₐ um 1. Mit 4 Pflanzen überlappen sie stark, β = 0,36. Mit 16 Pflanzen sind sie schmal, β = 0,01.
SE=σnSE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Die Breite der Glocken ist der Standardfehler SESE. Viermal so viele Daten halbieren ihn. Deshalb haben kleine Versuche oft eine geringe Teststärke: Ein echter Effekt geht leicht unter.

Ein Versuch mit 6 Pflanzen ergibt p=0,30p = 0{,}30. Welcher Fehler könnte passiert sein?

Wähle eine Antwort. Dann prüfen.

Bei Tests auf Normalverteilung

Der Shapiro-Wilk-Test und der Kolmogorow-Smirnow-Test (KS-Test) prüfen, ob Daten normalverteilt sind. Hier ist die Nullhypothese das, was man sich meist wünscht:

  • H0H_0: Die Körpergröße ist normalverteilt.
  • HAH_A: Die Körpergröße ist nicht normalverteilt.

Damit drehen sich die Fehler in der Bedeutung um:

Fehlerbedeutet hierwann wahrscheinlich
Fehler1. Artbedeutet hierDer Test sagt „nicht normalverteilt“, obwohl die Körpergröße normalverteilt ist.wann wahrscheinlichmit Wahrscheinlichkeit α\alpha, egal wie viele Daten
Fehler2. Artbedeutet hierDer Test sagt nichts (p>αp > \alpha), obwohl die Körpergröße nicht normalverteilt ist.wann wahrscheinlichvor allem bei wenigen Daten – kleine Abweichungen bleiben unentdeckt

Der KS-Test hat dabei eine geringere Teststärke als der Shapiro-Wilk-Test. Er übersieht Abweichungen eher, macht also öfter einen Fehler 2. Art. Mehr dazu auf der Seite zu den Tests auf Normalverteilung.

Der Shapiro-Wilk-Test ergibt für 12 Körpergrößen p=0,40p = 0{,}40. Die Körpergrößen sind in Wirklichkeit schief verteilt. Welcher Fehler ist das?

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So schreibst du es auf

Beschreibe beide Fehler im Beispiel. Nenne, was der Test entschieden hat, und was in Wirklichkeit gilt.

  1. 1
    Fehler 1. Art

    Wir schließen, dass mehr Licht mit mehr Sauerstoffbildung der Wasserpest einhergeht. In Wirklichkeit gibt es keinen positiven Zusammenhang zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung.

  2. 2
    Fehler 2. Art

    Wir finden keinen signifikanten Zusammenhang und behalten H0H_0 bei. In Wirklichkeit bildet die Wasserpest bei mehr Licht doch mehr Sauerstoff.

  3. 3
    Welcher kann hier passiert sein?

    Wurde H0H_0 verworfen (p≤αp \le \alpha), ist nur ein Fehler 1. Art möglich. Wurde H0H_0 beibehalten, nur ein Fehler 2. Art.

Ein Test ergibt p=0,01p = 0{,}01 bei α=0,05\alpha = 0{,}05. Welcher Fehler ist jetzt noch möglich?

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