Hypothesentest und p-Wert einfach erklärt – H0, HA, α

Erst die Vermutung, dann ihr Gegenteil

Du vermutest: Je mehr Licht die Wasserpest bekommt, desto mehr Sauerstoff bildet sie. Das ist deine Alternativhypothese $H_A$ (auch $H_1$ ). Sie beschreibt den Effekt, den du zeigen willst.

Der Test braucht dazu ein Gegenstück: die Nullhypothese $H_0$ . Sie sagt, dass es den Effekt nicht gibt. Der Test prüft immer $H_0$ – nicht deine Vermutung direkt.

Zwei Punktwolken aus Kreuzen. Links liegen die Punkte ohne Richtung, rechts steigen sie von links unten nach rechts oben.

Für eine Vermutung mit Richtung („je mehr, desto mehr“) schreibst du:

$H_0$ : Zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung gibt es keinen positiven Zusammenhang.
$H_A$ : Zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung gibt es einen positiven Zusammenhang. Mehr Licht geht mit mehr Sauerstoff einher.

Mit dem Korrelationskoeffizienten $\rho$ (rho) der Grundgesamtheit sieht das so aus:

H_0:\ \rho \le 0 \qquad H_A:\ \rho > 0

Du vermutest: Dünger lässt Bohnen höher wachsen. Welche Hypothese ist $H_0$ ?

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Der Test tut so, als stimme H₀

Der Test geht so vor. Er nimmt an, dass $H_0$ stimmt. Dann fragt er: Wie wahrscheinlich wären Daten wie meine?

Aus den Daten rechnet er eine Zahl aus, die Prüfgröße (auch Teststatistik). Wenn $H_0$ stimmt, liegt sie meist nahe 0. Wie sie dann verteilt ist, nennt man die Nullverteilung. Oft ist das eine Normalverteilung oder eine t-Verteilung.

Die Nullverteilung ist eine Glocke um 0. Viele Kreuze fallen auf die Achse, die meisten nahe 0, wenige weit draußen. Dann erscheint die Prüfgröße aus den Daten bei 2,3, weit rechts im dünnen Rand.

Liegt die Prüfgröße mitten in der Glocke, passen die Daten gut zu $H_0$ . Liegt sie weit draußen im Rand, wären solche Daten unter $H_0$ sehr selten. Dann zweifelst du an $H_0$ .

Der p-Wert: Wie überraschend sind die Daten?

Der p-Wert misst, wie weit draußen die Prüfgröße liegt. Er ist die Fläche der Nullverteilung ab der Prüfgröße nach außen.

p = P(\text{mindestens so extrem wie beobachtet} \mid H_0)

In Worten: Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, so ein Ergebnis oder ein noch extremeres zu bekommen – wenn $H_0$ stimmt. Ein kleiner p-Wert heißt: Unter $H_0$ wären diese Daten sehr überraschend.

Nullverteilung um 0. Die Prüfgröße wandert von 1 auf 2. Die Fläche rechts davon ist der p-Wert: bei 1 sind es 0,16, bei 2 nur noch 0,023.

Das ist dieselbe Rechnung wie „mehr als“ bei der Normalverteilung: $p = 1 - \Phi(z)$ . Bei $z = 2$ ist $p = 1 - 0{,}977 = 0{,}023$ .

Ein Test ergibt $p = 0{,}02$ . Was heißt das?

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α: die Grenze legst du vorher fest

Wie klein muss $p$ sein, damit du $H_0$ verwirfst? Diese Grenze heißt Signifikanzniveau $\alpha$ (alpha). In der Biologie ist meist $\alpha = 0{,}05$ . Du legst $\alpha$ fest, bevor du die Daten anschaust.

\begin{aligned} p \le \alpha &\;\Rightarrow\; H_0 \text{ verwerfen} \\ p > \alpha &\;\Rightarrow\; H_0 \text{ beibehalten} \end{aligned}

Nullverteilung mit schraffiertem Rand rechts von 1,645: Das sind 5 %. Eine Prüfgröße bei 1,2 liegt davor, p = 0,115. Eine Prüfgröße bei 2,1 liegt im Rand, p = 0,018.

Der schraffierte Rand heißt Ablehnungsbereich. Fällt die Prüfgröße hinein, ist $p \le \alpha$ . Beides sagt dasselbe.

Ein Test ergibt $p = 0{,}08$ , du hast $\alpha = 0{,}05$ festgelegt. Was folgt?

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Derselbe p-Wert $p = 0{,}03$ . Bei welchem $\alpha$ ist das Ergebnis nicht signifikant?

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Einseitig oder zweiseitig

Hat deine Vermutung eine Richtung („mehr Licht, mehr Sauerstoff“), testest du einseitig. Der ganze Ablehnungsbereich liegt dann auf einer Seite.

Vermutest du nur, dass es irgendeinen Unterschied gibt („Licht ändert die Sauerstoffbildung“), testest du zweiseitig. Dann teilt sich $\alpha$ auf beide Ränder auf: je 2,5 %.

Links eine Nullverteilung mit 5 % im rechten Rand ab 1,645. Rechts dieselbe Glocke mit je 2,5 % in beiden Rändern, ab −1,96 und ab 1,96.

\begin{aligned} p_{\text{einseitig}} &= 1 - \Phi(z) \\ p_{\text{zweiseitig}} &= 2\,\big(1 - \Phi(|z|)\big) \end{aligned}

	kritischer Wert bei $\alpha = 0{,}05$	Hypothesen
einseitig	kritischer Wert bei $\alpha = 0{,}05$ $1{,}645$	Hypothesen $H_0: \rho \le 0$ , $H_A: \rho > 0$
zweiseitig	kritischer Wert bei $\alpha = 0{,}05$ $\pm 1{,}96$	Hypothesen $H_0: \rho = 0$ , $H_A: \rho \ne 0$

Bei $z = 2$ ist der einseitige p-Wert $0{,}023$ . Wie groß ist der zweiseitige?

Deine Antwort

Tipp deine Antwort ein, zum Beispiel 0,25. Dann prüfen.

Was der p-Wert nicht sagt

Um den p-Wert ranken sich viele Missverständnisse. Diese vier Sätze sind falsch:

„ $p = 0{,}03$ heißt: $H_0$ stimmt mit 3 % Wahrscheinlichkeit.“ – Der p-Wert setzt voraus, dass $H_0$ stimmt. Er kann nicht zugleich sagen, wie wahrscheinlich $H_0$ ist.
„Ein kleiner p-Wert heißt: ein großer Effekt.“ – Mit sehr vielen Daten wird auch ein winziger Effekt signifikant.
„Nicht signifikant heißt: Es gibt keinen Effekt.“ – Vielleicht waren nur zu wenige Daten da.
„Signifikant heißt: Licht ist die Ursache.“ – Ein Test zeigt einen Zusammenhang, keine Ursache. Mehr dazu auf der Seite Korrelation und Kausalität.

Links 8 Kreuze mit leicht steigendem Trend, p = 0,20. Rechts 80 Kreuze mit genau demselben Trend (r = 0,35), p = 0,001.

Welcher Satz stimmt?

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So schreibst du das Ergebnis auf

Eine gute Antwort hat drei Teile. Sie vergleicht $p$ mit $\alpha$ . Sie sagt, was mit $H_0$ passiert. Und sie übersetzt das in das biologische Beispiel – mit den echten Begriffen, nicht nur mit „X“ und „Y“.

1
Vergleichen
$p = 0{,}01$ ist kleiner als $\alpha = 0{,}05$ .
2
Entscheiden
Wir verwerfen die Nullhypothese. Das Ergebnis ist signifikant.
3
Übersetzen
Die Daten sprechen für einen positiven Zusammenhang zwischen der Lichtstärke und der Sauerstoffbildung der Wasserpest. Bei mehr Licht wurde mehr Sauerstoff gebildet.

Und wenn $p > \alpha$ ist, zum Beispiel $p = 0{,}20$ : „ $p$ ist größer als $\alpha$ . Wir behalten $H_0$ bei. Die Daten zeigen keinen signifikanten positiven Zusammenhang zwischen Lichtstärke und Sauerstoffbildung. Ausgeschlossen ist ein Zusammenhang damit nicht.“

Bohnen-Versuch: $p = 0{,}20$ , $\alpha = 0{,}05$ . Welcher Satz ist die beste Antwort?

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In R

R gibt bei jedem Test die Prüfgröße und den p-Wert aus. Bei cor.test stellst du mit alternative ein, ob einseitig oder zweiseitig getestet wird.

licht     <- c(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80)            # Lichtstärke in klx
sauerstoff <- c(1.2, 1.9, 1.7, 2.8, 3.1, 3.0, 4.2, 4.0)    # mg O2 pro Stunde

cor.test(licht, sauerstoff, alternative = "greater")  # einseitig: H_A: rho > 0
cor.test(licht, sauerstoff)                           # zweiseitig: H_A: rho ≠ 0

1 - pnorm(2)        # einseitiger p-Wert zu z = 2: 0.023
2 * (1 - pnorm(2))  # zweiseitiger p-Wert zu z = 2: 0.046

In der Ausgabe stehen t (die Prüfgröße), df (Freiheitsgrade), p-value und die geschätzte Korrelation cor. Gib alle vier an, wenn ein Ergebnis „vollständig“ angegeben werden soll.

Hypothesentest, p-Wert und Signifikanzniveau

Erst die Vermutung, dann ihr Gegenteil

Der Test tut so, als stimme H₀

Der p-Wert: Wie überraschend sind die Daten?

α: die Grenze legst du vorher fest

Einseitig oder zweiseitig

Was der p-Wert nicht sagt

So schreibst du das Ergebnis auf

In R

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