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Bayati Statistik

Korrela­tion und Kausali­tät

Zwei Größen hängen zusammen – aber ist die eine die Ursache der anderen? Oft steckt eine dritte Größe dahinter. Sicher zeigen kann eine Ursache nur ein Experiment.

ca. 9 Min. · Biostatistik

Der Korrelationskoeffizient r

Wie stark hängen zwei Messgrößen zusammen? Das misst der Korrelationskoeffizient rr nach Pearson. Er liegt immer zwischen −1-1 und 11.

  • r>0r > 0: positiver Zusammenhang. Je mehr das eine, desto mehr das andere.
  • r<0r < 0: negativer Zusammenhang. Je mehr das eine, desto weniger das andere.
  • rr nahe 0: kein linearer Zusammenhang.
  • Je näher rr an −1-1 oder 11 liegt, desto enger liegen die Punkte an einer Geraden.
Eine Punktwolke aus Kreuzen verändert sich: erst fallend mit r = −0,9, dann ohne Richtung mit r = 0, dann steigend mit r = 0,5 und eng an einer Geraden mit r = 0,9.
r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2  ∑i=1n(yi−yˉ)2r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}

Zwischen Wassertiefe und Lichtmenge am Grund eines Sees ist r=−0,8r = -0{,}8. Was heißt das?

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Zusammenhang heißt nicht Ursache

In Monaten, in denen viel Eis verkauft wird, gibt es mehr Badeunfälle. Der Zusammenhang ist stark und signifikant. Macht Eis gefährlich?

Nein. Beides hat dieselbe Ursache: Hitze. An heißen Tagen essen mehr Leute Eis, und mehr Leute gehen baden. So eine dritte Größe heißt Störgröße (auch Confounder).

Eine steigende Punktwolke: mehr Eis, mehr Badeunfälle. Dann färben sich die Punkte nach der Temperatur: kühle Tage liegen links unten, heiße rechts oben. Innerhalb jeder Gruppe steigt nichts mehr.EisverkaufBadeunfällekühle Tageheiße Tage

Wiesen mit vielen Regenwürmern haben höhere Pflanzen. Welche Störgröße könnte beides erklären?

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Vier Erklärungen für einen Zusammenhang

Hängen zwei Größen XX und YY zusammen, gibt es vier mögliche Gründe.

Vier kleine Bilder mit den Buchstaben X, Y und Z: ein Pfeil von X nach Y, ein Pfeil von Y nach X, Pfeile von Z zu X und zu Y, und X und Y ohne Pfeil mit einem Würfel.X bewirkt YY bewirkt XZ bewirkt beideZufall
  • XX bewirkt YY: Licht lässt die Wasserpest mehr Sauerstoff bilden.
  • YY bewirkt XX, also umgekehrt: Kranke Tiere fressen weniger – nicht das Wenigfressen macht krank.
  • Eine Störgröße ZZ bewirkt beide: Hitze bewirkt mehr Eisverkauf und mehr Badeunfälle.
  • Zufall: Bei α=0,05\alpha = 0{,}05 ist auch ohne echten Zusammenhang jeder zwanzigste Test signifikant (Fehler 1. Art).

Ein Test kann diese vier Fälle nicht unterscheiden. Er sagt nur, ob der Zusammenhang zufällig sein könnte.

Eine Ursache zeigt ein Experiment

Bei einer Beobachtungsstudie misst du, was du vorfindest: verschiedene Teiche, verschiedene Wiesen. Die unterscheiden sich in vielen Dingen gleichzeitig. Jede davon kann eine Störgröße sein.

Bei einem Experiment änderst du selbst nur eine Größe und hältst alles andere gleich. Welche Pflanze welche Bedingung bekommt, entscheidet der Zufall (Randomisierung). Dann bleibt als Erklärung nur die Größe, die du geändert hast.

  1. 1
    Gleiche Bedingungen

    Alle Wasserpest-Sprosse stehen im selben Wasser, bei derselben Temperatur, mit denselben Nährstoffen.

  2. 2
    Nur eins ändern

    Nur die Lichtstärke ist verschieden.

  3. 3
    Zufällig zuteilen

    Welcher Spross welches Licht bekommt, wird ausgelost.

Wie zeigst du am besten, dass Licht die Sauerstoffbildung der Wasserpest erhöht?

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So begründest du es

Eine typische Aufgabe: „Ein signifikanter Zusammenhang wurde gefunden. Ist XX deshalb die Ursache für YY?“ Eine gute Antwort hat drei Teile.

  1. 1
    Nein, nur ein Zusammenhang

    Nein. Der Test zeigt nur, dass Regenwürmer und Pflanzenhöhe zusammen auftreten. Eine Ursache zeigt er nicht.

  2. 2
    Störgröße nennen

    Die Wiesen unterscheiden sich auch in der Bodenfeuchte. Feuchter Boden kann sowohl mehr Regenwürmer als auch höhere Pflanzen bewirken.

  3. 3
    Was man bräuchte

    Um die Ursache zu zeigen, bräuchte man ein Experiment, in dem nur die Zahl der Regenwürmer verändert wird und die Bodenfeuchte gleich bleibt.

Nutze die Begriffe aus der Aufgabe. „X“ und „Y“ reichen nicht – schreib, um welche Tiere, Pflanzen und Messgrößen es geht.

In R

plot(regenwuermer, hoehe)                       # immer erst anschauen
cor(regenwuermer, hoehe)                        # Korrelationskoeffizient r (Pearson)
cor.test(regenwuermer, hoehe)                   # Test: H0: rho = 0
cor.test(regenwuermer, hoehe, method = "spearman")  # Rangkorrelation
cor(regenwuermer, hoehe, use = "complete.obs")  # Zeilen mit NA weglassen

Die Rangkorrelation nach Spearman nimmt statt der Werte ihre Ränge. Sie misst jeden Zusammenhang, der immer nur in eine Richtung geht, auch gebogene. Sie braucht keine Normalverteilung.

Dafür brauchst du

Darauf baut auf

Weiter: Normal­verteilung prüfen

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